数学知识点English

计算器近似估算

使用图形计算器或绘图软件求定积分的近似值。

这个知识点的练习题

  1. 1曲线 CC 由参数方程定义 x=t−sin⁡tx = t - \sin t，y=sin⁡2ty = \sin^{2} t，  0≤t≤π\;0 \le t \le \pi。 曲线 CC 上的点 AA 对应的参数为 π2\dfrac{\pi}{2}，且是一个极大值点。直线…
  2. 2曲线 C 由参数方程定义： x=θ2−1,y=tan⁡θ2,0≤θ<πx = \theta^2 - 1,\quad y = \tan\frac{\theta}{2},\quad 0 \le \theta < \pi。 求由 C、y 轴和 x 轴所围成且满足 x≤0x \le 0…
  3. 3已知 f(x)=14+9x2f(x)=\dfrac{1}{4+9x^2}。 求 ∫f(x) dx\displaystyle\int f(x)\,dx。 求 f(x)f(x) 的二项展开式，展开到包含 x4x^4 的项。以最简精确分数形式给出各项系数。 由此，求 tan⁡−13x2\tan^{-1}\dfrac{3x}{2}…
  4. 4通过换元法 u=x+1u = \sqrt{x+1}，求 ∫x+1x−1 dx\displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1}}{x-1}\,dx。 区域 RR 由曲线 y=x+1x−1y = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-1} 以及直线…
  5. 5曲线 CC 的方程为 y=ln⁡(2−∣x∣)y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)。区域 RR 由 CC、直线 y=ln⁡2y=\ln 2、x=1x=1 和 x=−1x=-1 围成。求 RR 的精确面积。 曲线 CC 的参数方程定义…
  6. 6一位农民拥有一块土地 OABOAB，其相邻两边为 OAOA 和 OBOB。以 OO 为原点，OAOA 和 OBOB 分别平行于 xx 轴和 yy 轴。弧 ABAB 由参数方程表示： x=cos⁡θ,y=θ−12sin⁡2θ,0≤θ≤π2.x = \cos\theta, \quad y = \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta, \quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.…
  7. 7上图显示了对于 xge0x \\ge 0，y=f(x)y=f(x) 的函数图像草图。在 1lexle31 \\le x \\le 3 范围内，曲线下方画有 nn 个宽度均为 hh 的矩形。每个矩形绕 x 轴旋转 2π2\pi 弧度，都会得到一个圆柱形薄片。这…
  8. 8曲线 CC 的方程为 y=xcos⁡2xy = x\cos 2x，其中 0≤x≤π0 \le x \le \pi。 求 CC 与 xx 轴相交之点的精确 xx 坐标。 画出 CC 的草图，并写出该曲线与 xx 轴和 yy 轴的所有交点的坐标。 求…
  9. 9斯托克斯定律指出，当半径为 RR 的球形物体在流体中以速度 vv 下落时，作用在球体上的阻力 FF 由下式给出： F=−6πηRv,F = -6\pi \eta R v , 其中 η\eta 是流体的黏度系数。下表显示了在 25∘C25 ^\circ\text{C}…
  10. 10下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围成的区域 RR。求 RR 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。 下图显示了一个由曲线 (y+5)2=x−3(y+5)^{2}=x-3 和直线 y=x−10y=x-10 所围…
  11. 11使用代换 x=1+sin⁡ux=1+\sin u 求 ∫2x−x2 dx\int\sqrt{2x-x^{2}}\,dx。 包含点 (0,1) 的有界区域 RR 由曲线 y=∣x∣3+∣x∣y=|x|^{3}+|x| 和 y=∣x∣+2−2∣x∣−x2y=|x|+2-\sqrt{2}|x|-x^{2} 围成。…
  12. 12曲线 C1C_1 和 C2C_2 的方程分别为 y=x−bx−ay=\dfrac{x-b}{x-a} and y=x−bby=\dfrac{x-b}{b}，其中 aa 和 bb 是常数，且 1<a<b1<a<b。 证明 C1C_1 和 C2C_2 交点的 xx…
  13. 13上图展示了当 x≥0x \ge 0 时 y=f(x)y = \text{f}(x) 的函数图像简图。在曲线下方，在区间 1≤x≤31 \le x \le 3 上画有 nn 个宽度均为 hh 的矩形。当每个矩形绕 xx 轴旋转 2π2\pi 弧度时，将…
  14. 14图中显示了方程为 y=12(3x+2)2+4y = \frac{12}{(3x+2)^2 + 4} 的曲线 CC，其转向点为 (−23,3)\left(-\frac{2}{3}, 3\right)。区域 RR 由曲线 CC、yy 轴以及直线 y=3y = 3 围成。…
  15. 15设 RR 是由曲线 y=4xy = 4\sqrt{x} 和 y=x2+1y = x^2 + 1 围成的区域。 求区域 RR 的面积。 如果直线 x=cx = c 将区域 RR 分为两个面积相等的区域，求 cc 的值。 求区域 RR 绕 yy…
  16. 16上图显示了 x≥0x\ge 0 时 y=f(x)y=f(x) 的函数图像草图。在 1≤x≤31\le x\le 3 范围内的曲线下方绘制了 nn 个宽度均为 hh 的矩形。当每个矩形绕 x 轴旋转 2π2\pi 弧度时，将形成一个圆盘。这 nn 个圆…
  17. 17[在本题中，所有长度的测量单位均为米。] 要建造一座纪念碑，它由两部分组成——主体结构和底座。主体结构是将曲线 y=3sin⁡(2x2)y = 3\sin\left(2x^2\right)、 y=x2y = x^2 以及直线 x=π8x = \sqrt{\frac{\pi}{8}}…
  18. 18上图显示了方程为 y=ln⁡xx2y = \frac{\ln x}{x^2} 的曲线 C1C_1，其中 x≥1x \ge 1。 证明 C1C_1 上的极值点的精确坐标为 (e,12e)\left(\sqrt{\text{e}}, \frac{1}{2\text{e}}\right)…
  19. 19曲线 CC 由参数方程定义： x=θ2−1x = \theta^2 - 1，y=tan⁡θ2y = \tan\frac{\theta}{2}，0≤θ<π0 \le \theta < \pi。 求由 CC、yy 轴和满足 x≤0x \le 0 的 xx 轴所围成…
  20. 20曲线 CC 的方程为 y=ln⁡(2−∣x∣)y=\ln\left(2-\lvert x\rvert\right)。区域 RR 由 CC、直线 y=ln⁡2y=\ln 2、x=1x=1 和 x=−1x=-1 围成。求 RR 的面积精确值。 曲线 CC 的参数方程定…
  21. 21在本题中，你可以使用公式表（MF27）中的展开式。 求 ln⁡(1+cos⁡3x)\ln(1 + \cos 3x) 按 xx 的升幂排列的麦克劳林展开式，直至并包括 x4x^4 项，其中 0≤x<π30 \le x < \frac{\pi}{3}。 利用第 **(i)…
  22. 22函数 ff 定义为 f(x)=ln⁡(5−x)f(x)=\ln(5-x)，其中 x<5x<5。 求由曲线 y=f(x)y=f(x) 以及 xx 轴和 yy 轴围成的区域绕 yy 轴完全旋转一周所产生的旋转体体积。结果保留两位小数。 求使得 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|)=|f(x)|…
  23. 23函数 ff 定义为 f(x)=ln⁡(5−x)f(x) = \ln(5-x)，其中 x<5x < 5。 求由曲线 y=f(x)y = f(x) 与 xx 轴和 yy 轴所围成的区域绕 yy 轴完全旋转一周所生成的旋转体体积。结果保留两位小数。 (i) 写出满足 f(∣x∣)=∣f(x)∣f(|x|) = |f(x)|…
  24. 24使用常用级数，求 11−a2x2\dfrac{1}{\sqrt{1 - a^2 x^2}} 的麦克劳林级数展开式，展开到包含 x4x^4 的项为止，其中 aa 是正常数。并求出使该展开式成立的 xx 的取值范围（用 aa 表示）。 使用常用级数…
  25. 25求 ∫9u−84+9u2 du\displaystyle \int \frac{9u-8}{4+9u^2}\,\mathrm{d}u。 曲线 CC 由参数方程给出： x=u2+u+1x = u^2 + u + 1，y=9u4+9u2y = \dfrac{9u}{4+9u^2}，其中 u≥0u \ge 0…
  26. 26在本题中，你可以使用公式表（MF26）中的展开式。 已知 f(x)=esin⁡3x\mathrm{f}(x) = \mathrm{e}^{\sin 3x}，求出 f(x)\mathrm{f}(x) 按 xx 的升幂排列的麦克劳林级数展开式，直到包含 x2x^2…
  27. 27曲线 CC（如下图所示）的方程为 y=x2sin⁡xy = x^2 \sin x，−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi。 计算由 CC 和 xx 轴所围成的区域 RR 的精确面积。 绘制方程为 (y+1)2−4(x+2)2=1(y + 1)^2 - 4(x + 2)^2 = 1…