设函数$f(x)=6-|x+a|-|x+1|$． $($Ⅰ$)$当$a=-3$时，求不等式$f(x)\geqslant 0$的解集； $($Ⅱ$)$若$f(x)\leqslant 0$恒成立，求$a$的取值范围．

1. 代入 $a=-3$ 并整理不等式形式

当 $a=-3$ 时，函数 $f(x)=6-|x-3|-|x+1|$。
不等式 $f(x)\geqslant 0$ 即为 $6-|x-3|-|x+1|\geqslant 0$，等价于 $|x-3|+|x+1|\leqslant 6$。

2. 分区间讨论去掉绝对值并分别求解

令绝对值内的式子为 $0$，得到分界点为 $x=-1$ 和 $x=3$。
① 当 $x\leqslant -1$ 时，原不等式化为 $-(x-3)-(x+1)\leqslant 6$，即 $-2x+2\leqslant 6$，解得 $x\geqslant -2$，结合区间有 $-2\leqslant x\leqslant -1$；
② 当 $-1 < x\leqslant 3$ 时，原不等式化为 $-(x-3)+(x+1)\leqslant 6$，即 $4\leqslant 6$ 恒成立，结合区间有 $-1 < x\leqslant 3$；
③ 当 $x > 3$ 时，原不等式化为 $(x-3)+(x+1)\leqslant 6$，即 $2x-2\leqslant 6$，解得 $x\leqslant 4$，结合区间有 $3 < x\leqslant 4$。

3. 取并集得出最终解集

综合上述三种情况，取并集得到不等式的解集为 $[-2, 4]$。

1. 将恒成立问题进行等价转化

若 $f(x)\leqslant 0$ 恒成立，即 $6-|x+a|-|x+1|\leqslant 0$ 恒成立，
等价于 $|x+a|+|x+1|\geqslant 6$ 恒成立。

2. 使用绝对值三角不等式求最值

因为对任意实数 $x$，由绝对值三角不等式恒有：
$|x+a|+|x+1| = |x+a| + |-(x+1)| \geqslant |(x+a)-(x+1)| = |a-1|$，
所以 $|x+a|+|x+1|$ 的最小值为 $|a-1|$。

3. 列出关于 $a$ 的不等式并求解范围

要使原不等式恒成立，只需其最小值不小于 $6$，即 $|a-1|\geqslant 6$。
解得 $a-1\leqslant -6$ 或 $a-1\geqslant 6$，
即 $a\leqslant -5$ 或 $a\geqslant 7$。
因此，$a$ 的取值范围是 $(-\infty, -5] \cup [7, +\infty)$。