设等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，已知$a_{1}=2$，且$4S_{1}$，$3S_{2}$，$2S_{3}$成等差数列． $($Ⅰ$)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式； $($Ⅱ$)$设$b_{n}=|2n-5|⋅a_{n}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$．

1. 根据等差数列中项性质列出关于公比 $q$ 的方程

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$．
已知 $a_1 = 2$，则：
$S_1 = a_1 = 2$
$S_2 = a_1 + a_2 = 2 + 2q$
$S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 2 + 2q + 2q^2$
由 $4S_1$，$3S_2$，$2S_3$ 成等差数列，可得：
$2 imes (3S_2) = 4S_1 + 2S_3 \implies 3S_2 = 2S_1 + S_3$
代入 $S_1, S_2, S_3$ 得：
$3(2 + 2q) = 2(2) + (2 + 2q + 2q^2)$
$6 + 6q = 6 + 2q + 2q^2$
$2q^2 - 4q = 0$

2. 解方程确定公比 $q$ 并写出通项公式 $a_n$

解方程 $2q(q - 2) = 0$ 得 $q = 0$ 或 $q = 2$．
因为 $\{a_n\}$ 为等比数列，所以公比 $q \neq 0$，故 $q = 2$．
因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为：
$a_n = a_1 q^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

1. 化简 $b_n$ 中的绝对值表达式并分类讨论

由 (Ⅰ) 可知 $a_n = 2^n$，则：
$b_n = |2n - 5| \cdot 2^n$
对 $n$ 进行分类讨论：
当 $n = 1$ 时，$b_1 = |2(1) - 5| \cdot 2^1 = 3 \cdot 2 = 6$；
当 $n = 2$ 时，$b_2 = |2(2) - 5| \cdot 2^2 = 1 \cdot 4 = 4$；
当 $n \ge 3$ 时，$2n - 5 > 0$，所以 $b_n = (2n - 5) \cdot 2^n$．

2. 用错位相减法求数列 $A_n = \sum_{k=1}^n (2k-5) \cdot 2^k$ 的和

设 $A_n = (-3) \cdot 2^1 + (-1) \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^3 + \dots + (2n - 5) \cdot 2^n$．
则 $2A_n = (-3) \cdot 2^2 + (-1) \cdot 2^3 + \dots + (2n - 7) \cdot 2^n + (2n - 5) \cdot 2^{n+1}$．
两式相减得：
$-A_n = -6 + [2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + 2 \cdot 2^n] - (2n - 5) \cdot 2^{n+1}$
$-A_n = -6 + 2 \cdot \frac{2^2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} - (2n - 5) \cdot 2^{n+1}$
$-A_n = -6 + 2^{n+2} - 8 - (2n - 5) \cdot 2^{n+1}$
$-A_n = -14 + (9 - 2n) \cdot 2^{n+1}$
$\implies A_n = (2n - 7) \cdot 2^{n+1} + 14$

3. 结合前两项求出 $T_n$ 的最终分段/统一表达式

当 $n = 1$ 时，$T_1 = b_1 = 6$．
当 $n \ge 3$ 时，
$T_n = b_1 + b_2 + \sum_{k=3}^n (2k - 5) \cdot 2^k = 6 + 4 + (A_n - A_2)$
注意到 $A_2 = (2 \cdot 2 - 7) \cdot 2^3 + 14 = -24 + 14 = -10$，
故 $T_n = 10 + A_n - (-10) = A_n + 20 = (2n - 7) \cdot 2^{n+1} + 34$．
当 $n = 2$ 时，由公式计算得 $(2 \cdot 2 - 7) \cdot 2^3 + 34 = -24 + 34 = 10$，与 $T_2 = b_1 + b_2 = 10$ 相符．
综上所述，
$T_n = \begin{cases} 6, & n = 1 \\ (2n - 7) \cdot 2^{n+1} + 34, & n \ge 2 \end{cases}$