下列结论：①不论$a$为何值$\dfrac{a}{{a}^{2}+1}$都有意义；②$a=-1$时，分式$\dfrac{a+1}{{a}^{2}-1}$的值为$0$；③若$\dfrac{{x}^{2}+1}{x-1}$的值为负，则$x$的取值范围是$x< 1$；④若$\dfrac{x+1}{x+2}÷\dfrac{x+1}{x}$有意义，则$x$的取值范围是$x≠-2$且$x≠0.$其中正确的是$(\quad)$

A. ①②③④

B. ①②③

C. ①③

D. ①④

1. 分析结论①是否正确

对于结论①，因为对任意实数 $a$，都有 $a^2 \ge 0$，所以分母 $a^2+1 \ge 1 \neq 0$。分母恒不为 $0$，因此分式 $\dfrac{a}{a^2+1}$ 无论 $a$ 取何值都有意义，结论①正确。

2. 分析结论②是否正确

对于结论②，当 $a=-1$ 时，分母 $a^2-1 = (-1)^2-1 = 0$。因为分式有意义的前提是分母不为 $0$，所以当 $a=-1$ 时该分式无意义，更不能说其值为 $0$，结论②错误。

3. 分析结论③是否正确

对于结论③，若 $\dfrac{x^2+1}{x-1} < 0$，因为分子 $x^2+1 \ge 1 > 0$ 恒为正，所以要使整个分式的值为负，分母必须为负，即 $x-1 < 0$，解得 $x < 1$。因此 $x$ 的取值范围是 $x < 1$，结论③正确。

4. 分析结论④是否正确

对于结论④，若 $\dfrac{x+1}{x+2} \div \dfrac{x+1}{x}$ 有意义，则必须满足所有分母不为 $0$，且作为除数的分式的值不能为 $0$。\n即：\n1. $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$；\n2. $x \neq 0$；\n3. $\dfrac{x+1}{x} \neq 0 \implies x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$。\n因此，其有意义的自变量取值范围应为 $x \neq -2$ 且 $x \neq 0$ 且 $x \neq -1$，结论④错误。

5. 得出最终结论并进行选择

综上所述，正确的结论有①和③，对应的选项为 C。