对于二次函数$y=(x+1)^{2}+2$的图象，下列说法正确的是$(\quad)$

A. 开口向下

B. 对称轴是直线$x=1$

C. 顶点坐标是$(-1,2)$

D. 当$x\geqslant-1$时，$y$随$x$增大而减小

1. 确定二次函数图象的开口方向

对于二次函数 $y=(x+1)^{2}+2$，二次项系数 $a=1 > 0$。
因此，该抛物线开口向上，故选项 A 错误。

2. 确定二次函数图象的顶点坐标和对称轴

根据二次函数的顶点式 $y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为 $(h,k)$，对称轴为直线 $x=h$。
对比 $y=(x+1)^{2}+2$，可知顶点坐标为 $(-1,2)$，对称轴为直线 $x=-1$。
因此，选项 B 错误（对称轴应为 $x=-1$），选项 C 正确。

3. 判断二次函数的单调性

因为抛物线开口向上且对称轴为 $x=-1$，
所以当 $x \geqslant -1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，故选项 D 错误。
综上所述，说法正确的是 C。