满足$\{1,3\}∪A=\{1,3,5\}$的所有集合$A$的个数$()$

A. $1$个

B. $2$个

C. $3$个

D. $4$个

1. 分析并集运算确定集合 $A$ 中元素的特征

由 $\{1,3\} \cup A = \{1,3,5\}$ 可知：

1. 元素 $5$ 必须属于集合 $A$，即 $5 \in A$；
2. 集合 $A$ 中的其他元素只能从 $1, 3$ 中选择，即 $A \subseteq \{1,3,5\}$。
   因此，集合 $A$ 必含有元素 $5$，且可能含有元素 $1$ 和 $3$。

2. 列举或计算满足条件的集合 $A$ 的个数

根据上述分析，集合 $A$ 可以写成 $\{5\} \cup X$ 的形式，其中 $X$ 是集合 $\{1, 3\}$ 的子集。
因为集合 $\{1, 3\}$ 的子集共有 $2^2 = 4$ 个，分别是：
$\varnothing, \{1\}, \{3\}, \{1,3\}$，
所以对应的集合 $A$ 也有 $4$ 个，分别为：
$\{5\}, \{1,5\}, \{3,5\}, \{1,3,5\}$。
故满足条件的集合 $A$ 的个数为 $4$。
结合选项，应选 D。