把下列完全平方式因式分解： $(1)y^{2}+y+ \dfrac{1}{4}$； $(2)4x^{2}+y^{2}-4xy$； $(3)9-12a+4a^{2}$； $(4)(m-n)^{2}+6(n-m)+9$．

1. 将原式变形为符合完全平方公式的标准形式

$y^2 + y + \frac{1}{4} = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2$

2. 利用完全平方公式进行因式分解

$y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(y + \frac{1}{2}\right)^2$

1. 调整项的顺序并写成平方项和乘积项的形式

$4x^2 + y^2 - 4xy = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot y + y^2$

2. 利用完全平方差公式进行因式分解

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot y + y^2 = (2x - y)^2$

1. 将各项写成平方项和乘积项的形式

$9 - 12a + 4a^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (2a) + (2a)^2$

2. 利用完全平方差公式进行因式分解

$3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (2a) + (2a)^2 = (3 - 2a)^2$

1. 统一底数，将 $6(n-m)$ 转化为以 $(m-n)$ 为底的形式

因为 $n-m = -(m-n)$，所以原式可以变形为：$(m-n)^2 - 6(m-n) + 9$

2. 将 $(m-n)$ 视为一个整体，改写为完全平方式的标准形式

将 $(m-n)$ 视为一个整体，原式可写为：$(m-n)^2 - 2 \cdot (m-n) \cdot 3 + 3^2$

3. 应用完全平方差公式进行因式分解

$(m-n)^2 - 2 \cdot (m-n) \cdot 3 + 3^2 = (m-n-3)^2$