函数$f(x)= \dfrac {1+\ln x}{x}$． $($Ⅰ$)$判断$f(x)$的单调性，并求$f(x)$的极值； $($Ⅱ$)$求证：当$x\geqslant 1$时，$\dfrac {(x+1)(1+\ln x)}{x}\geqslant 2$．

1. 确定定义域并求导数

函数 $f(x) = \dfrac{1+\ln x}{x}$ 的定义域为 $(0, +\infty)$．
对 $f(x)$ 求导数，得：
$f'(x) = \frac{(1+\ln x)' \cdot x - (1+\ln x) \cdot x'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (1+\ln x)}{x^2} = -\frac{\ln x}{x^2}$．

2. 分析导数符号确定单调区间

令 $f'(x) > 0$，即 $-\frac{\ln x}{x^2} > 0$，解得 $0 < x < 1$；
令 $f'(x) < 0$，即 $-\frac{\ln x}{x^2} < 0$，解得 $x > 1$．
所以，$f(x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递增，在区间 $(1, +\infty)$ 上单调递减．

3. 计算函数的极值

由单调性可知，$f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值，其极大值为：
$f(1) = \frac{1+\ln 1}{1} = 1$．
$f(x)$ 没有极小值．

1. 构造辅助函数

要证当 $x \ge 1$ 时，$\dfrac{(x+1)(1+\ln x)}{x} \ge 2$ 恒成立，
可构造辅助函数 $g(x) = \dfrac{(x+1)(1+\ln x)}{x} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)(1+\ln x)$，其中 $x \ge 1$．

2. 对辅助函数求导数

对 $g(x)$ 求导数，得：
$g'(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)' (1+\ln x) + \left(1 + \frac{1}{x}\right) (1+\ln x)'$
$g'(x) = -\frac{1}{x^2}(1+\ln x) + \left(1+\frac{1}{x}\right)\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} - \frac{\ln x}{x^2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x - \ln x}{x^2}$．

3. 判断导数的符号以确定函数的单调性

令 $h(x) = x - \ln x$，当 $x \ge 1$ 时，$h'(x) = 1 - \frac{1}{x} \ge 0$．
所以 $h(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递增，故 $h(x) \ge h(1) = 1 > 0$．
因此，当 $x \ge 1$ 时，恒有 $g'(x) = \frac{h(x)}{x^2} > 0$．
所以 $g(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递增．

4. 求最值并得出结论

因为 $g(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递增，
所以对于任意 $x \ge 1$，恒有 $g(x) \ge g(1)$．
而 $g(1) = \frac{(1+1)(1+\ln 1)}{1} = 2$，
所以当 $x \ge 1$ 时，$\dfrac{(x+1)(1+\ln x)}{x} \ge 2$ 成立．