如果一个个位数字为5的三位数除以2，3，4，5，6，7，8，9的余数互不相等，那么这个数是 ___ ．

1. 分析各个除数可能产生的余数范围，推导较小除数的唯一可能余数

设该三位数为 $N$，其除以 $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 的余数分别记为 $r_2, r_3, r_4, r_5, r_6, r_7, r_8, r_9$。
已知 $N$ 的个位数字为 $5$，故：

• $N$ 为奇数，得 $r_2 = 1$；
• $N$ 为 $5$ 的倍数，得 $r_5 = 0$。

由于 8 个余数互不相等，余数 $0$ 和 $1$ 已经被占用，其余除数的余数均不为 $0$ 或 $1$。
考虑除数 $3$：$r_3 < 3$ 且 $r_3 \notin \{0, 1\}$，故唯一可能为 $r_3 = 2$。
考虑除数 $4$：$r_4 < 4$ 且 $r_4 \notin \{0, 1, 2\}$，故唯一可能为 $r_4 = 3$。

2. 利用整除与同余关联，确定 $r_6, r_8, r_9$ 的值

由 $N \equiv 1 \pmod 2$ 且 $N \equiv 2 \pmod 3$，可知：
$N \equiv 5 \pmod 6 \implies r_6 = 5$
此时已占用的余数为 $\{0, 1, 2, 3, 5\}$。

再看除数 $8$：$N \equiv 3 \pmod 4 \implies N \pmod 8 \in \{3, 7\}$。
由于 $r_4 = 3$，余数 $3$ 已被占用，故 $r_8 = 7$。

再看除数 $9$：$N \equiv 2 \pmod 3 \implies N \pmod 9 \in \{2, 5, 8\}$。
由于余数 $2$ 和 $5$ 已分别被 $r_3, r_6$ 占用，故 $r_9 = 8$。

此时已确定的余数有：$r_2=1, r_3=2, r_4=3, r_5=0, r_6=5, r_8=7, r_9=8$。

3. 列出同余方程求出满足条件的可能三位数，并检验除以 7 的余数

注意到对于除数 $2, 3, 4, 6, 8, 9$，均有：
$N \equiv -1 \pmod d$
因此 $N + 1$ 是 $\operatorname{lcm}(2, 3, 4, 6, 8, 9) = 72$ 的倍数，即：
$N \equiv -1 \equiv 71 \pmod{72}$
又因为 $N$ 是 $5$ 的倍数，设 $N = 72k + 71$：
$72k + 71 \equiv 2k + 1 \equiv 0 \pmod 5 \implies 2k \equiv 4 \pmod 5 \implies k \equiv 2 \pmod 5$
令 $k = 5m + 2$，可得：
$N = 72(5m + 2) + 71 = 360m + 215$
因为 $N$ 是三位数，取值可能为：

• 当 $m = 0$ 时，$N = 215$：$215 \div 7 = 30 \dots 5$，则 $r_7 = 5$，与 $r_6 = 5$ 重复，舍去；
• 当 $m = 1$ 时，$N = 575$：$575 \div 7 = 82 \dots 1$，则 $r_7 = 1$，与 $r_2 = 1$ 重复，舍去；
• 当 $m = 2$ 时，$N = 935$：$935 \div 7 = 133 \dots 4$，则 $r_7 = 4$。

此时 8 个余数分别为 $1, 2, 3, 0, 5, 4, 7, 8$，互不相等，符合题意。

故所求的三位数为 $935$。