末八位数是18421997且能被71整除的最小自然数为 ．

1. 把目标数设为代数形式并求末八位数对71的余数

设符合条件的自然数为 $N$。因为 $N$ 的末八位数是 $18421997$，所以可表示为：
$N = k \cdot 10^8 + 18421997 \quad (k \ge 0, k \in \mathbb{Z})$
首先计算 $18421997$ 除以 $71$ 的余数：
$18421997 = 71 \times 259464 + 53$
即 $18421997 \equiv 53 \pmod{71}$。

2. 计算 $10^8 \pmod{71}$ 的余数

利用同余乘法性质依次计算 $10$ 的高次幂模 $71$：
$10^2 = 100 \equiv 29 \pmod{71}$
$10^4 \equiv 29^2 = 841 = 71 \times 11 + 60 \equiv -11 \pmod{71}$
$10^8 \equiv (-11)^2 = 121 = 71 \times 1 + 50 \equiv 50 \pmod{71}$

3. 建立一次同余方程并求出最小非负整数 $k$

因为 $N$ 能被 $71$ 整除，所以：
$k \cdot 10^8 + 18421997 \equiv 0 \pmod{71}$
代入余数得：
$50k + 53 \equiv 0 \pmod{71} \implies 50k \equiv -53 \equiv 18 \pmod{71}$
两边同除以 $2$（因为 $\gcd(2, 71) = 1$）：
$25k \equiv 9 \pmod{71}$
两边同乘以 $3$：
$75k \equiv 27 \pmod{71} \implies 4k \equiv 27 \pmod{71}$
寻找满足条件的最小非负整数 $k$：
$4k = 71m + 27$
当 $m=3$ 时，$4k = 71 \times 3 + 27 = 240$，解得 $k = 60$。
因此 $k$ 的最小非负整数解为 $k = 60$。

4. 计算并得出最小自然数 $N$

将 $k = 60$ 代入 $N$ 的表达式中：
$N = 60 \times 10^8 + 18421997 = 6018421997$
验证 $6018421997 \div 71 = 84766407$，能整除。因此满足条件的最小自然数为 $6018421997$。