若a+b+c=0,且b<c<0,则下列结论①a+b>0;②b+c<0;③c+a>0;④a-c<0.其中正确的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

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完整解法

1. 确定三个变量 $a, b, c$ 的符号特征

根据题意,已知 b<c<0b < c < 0,由此可知 bb 和 cc 均为负数,且它们的和 b+c<0b+c < 0。
又因为 a+b+c=0a+b+c=0,可变形为 a=−(b+c)a = -(b+c)。由于 b+c<0b+c < 0,所以其相反数 a>0a > 0(即 aa 为正数)。

2. 逐个检验命题①、②、③、④的正确性

对于①:因为 a+b+c=0a+b+c=0,所以 a+b=−ca+b = -c。又因为 c<0c < 0,所以 −c>0-c > 0,即 a+b>0a+b > 0 成立,结论①正确;
对于②:因为 b<0b < 0 且 c<0c < 0,两个负数相加和仍为负数,所以 b+c<0b+c < 0 成立,结论②正确;
对于③:因为 a+b+c=0a+b+c=0,所以 c+a=−bc+a = -b。又因为 b<0b < 0,所以 −b>0-b > 0,即 c+a>0c+a > 0 成立,结论③正确;
对于④:因为 a>0a > 0 且 c<0c < 0,正数减去负数结果必为正数,即 a−c>0a-c > 0,所以 a−c<0a-c < 0 不成立,结论④错误。
综上所述,正确的结论有①、②、③,共 3 个,故选 C。

答案

C

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