设 $f(x) = 2x^2 - 10x + 6$，$x \leq k$。 a 求使 $f^{-1}(x)$ 存在的最大 $k$ 值。 b 对此 $k$ 值：i 求 $f^{-1}(x)$。ii 写出 $f^{-1}(x)$ 的定义域和值域。

1. 对二次函数 $f(x)$ 进行配方，求出其顶点坐标与对称轴

将 $f(x) = 2x^2 - 10x + 6$ 配方：
$f(x) = 2\left(x^2 - 5x\right) + 6 = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 6 = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{13}{2}$
因此，抛物线的对称轴为 $x = \frac{5}{2}$。

2. 结合函数的单调性，确定反函数存在时 $k$ 的最大值

为使反函数 $f^{-1}(x)$ 存在，原函数 $f(x)$ 在定义域 $x \leq k$ 上必须是一一映射（即严格单调）。
由于抛物线开口向上，在 $x \leq \frac{5}{2}$ 区间内函数严格单调递减，因此定义域上限 $k$ 不能超过对称轴处的值。
故使 $f^{-1}(x)$ 存在的最大 $k$ 值为 $\frac{5}{2}$（或 $2.5$）。

1. 设 $y = f(x)$ 并变形整理，用 $y$ 表示 $\left(x - \frac{5}{2}\right)^2$

当 $k = \frac{5}{2}$ 时，设 $y = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{13}{2}$，其中 $x \leq \frac{5}{2}$。
移项并除以 $2$ 得：
$y + \frac{13}{2} = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 \implies \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{2y + 13}{4}$

2. 根据 $x \leq \frac{5}{2}$ 的约束条件取负平方根，解出 $x$ 并写出反函数解析式

因为 $x \leq \frac{5}{2}$，所以 $x - \frac{5}{2} \leq 0$。
两边开平方取负根：
$x - \frac{5}{2} = -\sqrt{\frac{2y + 13}{4}} = -\frac{\sqrt{2y + 13}}{2}$
解得：
$x = \frac{5 - \sqrt{2y + 13}}{2}$
交换 $x$ 与 $y$，得到反函数解析式：
$f^{-1}(x) = \frac{5 - \sqrt{2x + 13}}{2}$

1. 求原函数 $f(x)$ 在 $x \leq \frac{5}{2}$ 上的定义域与值域

对于 $f(x) = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{13}{2}$，当 $x \leq \frac{5}{2}$ 时：

• 原函数的定义域为 $\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$（即 $x \leq \frac{5}{2}$）。
• 当 $x = \frac{5}{2}$ 时，函数取得最小值 $-\frac{13}{2}$，故原函数的值域为 $\left[-\frac{13}{2}, \infty\right)$（即 $f(x) \geq -\frac{13}{2}$）。

2. 利用互换关系确定反函数的定义域和值域

根据反函数的性质：

• $f^{-1}(x)$ 的定义域等于 $f(x)$ 的值域，即 $x \geq -\frac{13}{2}$（或 $[-6.5, \infty)$）。
• $f^{-1}(x)$ 的值域等于 $f(x)$ 的定义域，即 $f^{-1}(x) \leq \frac{5}{2}$（或 $(-\infty, 2.5]$）。