已知：$a+ \dfrac {1}{a}=5$，求：$a^{2}+ \dfrac {1}{a^{2}}$．

1. 对已知等式两边进行平方并展开

因为 $a + \dfrac{1}{a} = 5$，
两边同时平方得：
$\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^{2} = 5^{2}$
利用完全平方公式展开得：
$a^{2} + 2 \cdot a \cdot \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^{2}} = 25$
即：
$a^{2} + 2 + \dfrac{1}{a^{2}} = 25$

2. 利用等式性质求出目标代数式的值

由 $a^{2} + 2 + \dfrac{1}{a^{2}} = 25$ 移项得：
$a^{2} + \dfrac{1}{a^{2}} = 25 - 2 = 23$