某兴趣小组在探究“2和5的倍数特征”时，将任意三位数表示为 $100a + 10b + c$（其中 $a,b,c$ 为整数，$1 \le a \le 9$，$0 \le b,c \le 9$）。
（1）将 $100a + 10b + c$ 变形为 $2 \times (50a + 5b) + c$ 和 $5 \times (20a + 2b) + c$。请结合这一变形，解释为什么判断一个数是否是 $2$ 或 $5$ 的倍数“只需要看个位数字 $c$”。
（2）若一个三位数 $\overline{abc}$ 满足个位数字 $c=5$，且百位数字与十位数字之和 $a+b=7$，请写出所有既是 $5$ 的倍数又是 $3$ 的倍数的三位数。

1. 说明代数变形中前项因式的整除性质

因为 $a, b$ 均是整数，所以 $50a + 5b$ 和 $20a + 2b$ 也都是整数。
在变形 $100a + 10b + c = 2 \times (50a + 5b) + c$ 中，$2 \times (50a + 5b)$ 必为 $2$ 的倍数；
在变形 $100a + 10b + c = 5 \times (20a + 2b) + c$ 中，$5 \times (20a + 2b)$ 必为 $5$ 的倍数。

2. 解释为什么整除性完全由个位数 $c$ 决定

由于表达式的前半部分 $2 \times (50a + 5b)$（或 $5 \times (20a + 2b)$）始终能被 $2$（或 $5$）整除，因此整个数 $100a + 10b + c$ 是否能被 $2$（或 $5$）整除，完全取决于余下的个位数字 $c$ 能否被 $2$（或 $5$）整除。故判断一个数是否是 $2$ 或 $5$ 的倍数“只需要看个位数字 $c$”。

1. 利用3的倍数特征验证该三位数满足被3整除的条件

已知个位数字 $c = 5$，末位为 $5$ 满足是 $5$ 的倍数。
要使三位数 $\overline{abc}$ 也是 $3$ 的倍数，其各位数字之和 $a + b + c$ 必须是 $3$ 的倍数。
由题意得知 $a + b = 7$，则数字之和为 $a + b + c = 7 + 5 = 12$。
因为 $12$ 能被 $3$ 整除，所以只要满足 $a + b = 7$（其中 $1 \le a \le 9$，$0 \le b \le 9$）且 $c = 5$，该三位数就必定既是 $5$ 的倍数又是 $3$ 的倍数。

2. 枚举所有满足条件的 $a, b$ 组合并列出对应的三位数

因为 $a$ 为百位数字，取值范围为 $1 \le a \le 9$；$b$ 为十位数字，取值范围为 $0 \le b \le 9$。
满足 $a + b = 7$ 的有序整数对 $(a, b)$ 有：

• 当 $a = 1$ 时，$b = 6$，三位数为 $165$；
• 当 $a = 2$ 时，$b = 5$，三位数为 $255$；
• 当 $a = 3$ 时，$b = 4$，三位数为 $345$；
• 当 $a = 4$ 时，$b = 3$，三位数为 $435$；
• 当 $a = 5$ 时，$b = 2$，三位数为 $525$；
• 当 $a = 6$ 时，$b = 1$，三位数为 $615$；
• 当 $a = 7$ 时，$b = 0$，三位数为 $705$。

所有符合条件的三位数为：$165, 255, 345, 435, 525, 615, 705$。