如图， $P$ 为长方形 $ABCD$ 内的一点，三角形 $PAB$ 的面积为 5，三角形 $PBC$ 的面积为 13，三角形 $PBD$ 的面积是多少？

1. 确定 $\triangle PAD$ 的面积与长方形总面积的关系

在长方形 $ABCD$ 中，$AD = BC$，且点 $P$ 到 $AD$ 和 $BC$ 的距离之和等于长方形的高 $AB$。
因此，$\triangle PAD$ 与 $\triangle PBC$ 的面积之和等于长方形 $ABCD$ 面积的一半：
$\text{S}_{\triangle PAD} + \text{S}_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \text{S}_{ABCD}$
已知 $\text{S}_{\triangle PBC} = 13$，代入可得：
$\text{S}_{\triangle PAD} = \frac{1}{2} \text{S}_{ABCD} - 13$

2. 利用对角线分割与面积加减关系求出 $\triangle PBD$ 的面积

对角线 $BD$ 将长方形 $ABCD$ 平分为两个面积相等的三角形，故：
$\text{S}_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \text{S}_{ABCD}$
观察图形可知，$\triangle ABD$ 的面积可以拆分为三个不重叠的三角形面积之和：
$\text{S}_{\triangle ABD} = \text{S}_{\triangle PAB} + \text{S}_{\triangle PAD} + \text{S}_{\triangle PBD}$
将已知数据与第1步的结果代入上式，得：
$\frac{1}{2} \text{S}_{ABCD} = 5 + \left(\frac{1}{2} \text{S}_{ABCD} - 13\right) + \text{S}_{\triangle PBD}$
两边同时减去 $\frac{1}{2} \text{S}_{ABCD}$，整理得：
$\text{S}_{\triangle PBD} = 13 - 5 = 8$