已知递增等比数列$\{a_{n}\}$的第三项、第五项、第七项的积为$512$，且这三项分别减去$1$，$3$，$9$后成等差数列．则$\{a_{n}\}$的公比为___；设$S_{n}=a{\,\!}^{2}_{1}+a{\,\!}^{2}_{2}+$…$+a{\,\!}^{2}_{n}$，则$S_{n}$的表达式为___.

1. 利用等比数列性质求出 $a_5$ 的值

由等比数列性质可得 $a_3 \cdot a_7 = a_5^2$。
因为 $a_3 \cdot a_5 \cdot a_7 = 512$，所以 $a_5^3 = 512$，解得 $a_5 = 8$。

2. 建立方程组求出 $a_3$ 和 $a_7$ 的值

因为 $a_3 - 1$，$a_5 - 3$，$a_7 - 9$ 成等差数列，由等差中项性质得：
$2(a_5 - 3) = (a_3 - 1) + (a_7 - 9)$
代入 $a_5 = 8$，解得：
$a_3 + a_7 = 20$
又因为 $a_3 \cdot a_7 = a_5^2 = 64$，解联立方程：
$\begin{cases} a_3 + a_7 = 20 \\ a_3 \cdot a_7 = 64 \end{cases}$
解得 $a_3 = 4, a_7 = 16$ 或 $a_3 = 16, a_7 = 4$。
因为数列 $\{a_n\}$ 递增，所以 $a_3 < a_7$，故 $a_3 = 4$，$a_7 = 16$。

3. 求等比数列的公比 $q$

由等比数列通项公式，$q^2 = \dfrac{a_5}{a_3} = \dfrac{8}{4} = 2$。
由于数列 $\{a_n\}$ 递增且 $a_3 = 4 > 0$，公比 $q > 1$，所以 $q = \sqrt{2}$。

4. 求 $S_n = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2$ 的表达式

由 $a_3 = a_1 q^2$，得 $4 = 2a_1 \implies a_1 = 2$。
则 $a_n = 2(\sqrt{2})^{n-1}$，故 $a_n^2 = 4 \cdot 2^{n-1}$。
因此数列 $\{a_n^2\}$ 是以 $a_1^2 = 4$ 为首项，公比 $Q = q^2 = 2$ 的等比数列。
其前 $n$ 项和 $S_n$ 为：
$S_n = \frac{4(2^n - 1)}{2 - 1} = 4(2^n - 1) = 2^{n+2} - 4$