当$-2\leqslant x\leqslant 1$时，二次函数$y=-(x-m)^{2}+m^{2}+1$有最大值$4$，则实数$m$的范围是 ___ ．

1. 确定二次函数的对称轴及分类讨论的边界

已知二次函数 $y=-(x-m)^{2}+m^{2}+1$ 的图象开口向下，对称轴为直线 $x=m$。
由于自变量限制在区间 $[-2, 1]$，需要根据对称轴 $x=m$ 与区间 $[-2, 1]$ 的相对位置，分三种情况讨论最大值：

1. $m < -2$；
2. $-2 \leqslant m \leqslant 1$；
3. $m > 1$。

2. 讨论 $m < -2$ 的情况并求解

当 $m < -2$ 时，对称轴在区间 $[-2, 1]$ 左侧。根据二次函数的单调性，函数在区间 $[-2, 1]$ 上单调递减。
因此，当 $x = -2$ 时，函数取得最大值，即：
$-(-2-m)^{2}+m^{2}+1=4$
化简得：
$-(m^2+4m+4)+m^2+1=4 \implies -4m-3=4 \implies m=-\frac{7}{4}$
由于 $-\frac{7}{4} = -1.75 > -2$，不满足前提条件 $m < -2$，故舍去。

3. 讨论 $-2 \leqslant m \leqslant 1$ 的情况并求解

当 $-2 \leqslant m \leqslant 1$ 时，顶点在区间 $[-2, 1]$ 内。
因此，当 $x = m$ 时，函数取得最大值，即：
$m^2+1=4 \implies m^2=3 \implies m=\pm\sqrt{3}$
经检验，$-\sqrt{3} \approx -1.732 \in [-2, 1]$，符合题意；
$\sqrt{3} \approx 1.732 \notin [-2, 1]$，不符合题意，舍去。
故此时 $m = -\sqrt{3}$。

4. 讨论 $m > 1$ 的情况并求解

当 $m > 1$ 时，对称轴在区间 $[-2, 1]$ 右侧。根据二次函数的单调性，函数在区间 $[-2, 1]$ 上单调递增。
因此，当 $x = 1$ 时，函数取得最大值，即：
$-(1-m)^{2}+m^{2}+1=4$
化简得：
$-(1-2m+m^2)+m^2+1=4 \implies 2m=4 \implies m=2$
经检验，$2 > 1$，符合前提条件 $m > 1$。
故此时 $m = 2$。

5. 总结得出最终结果

综上所述，实数 $m$ 的值为 $2$ 或 $-\sqrt{3}$。