已知函数$f(x)=\ln x+(a-1)x+\dfrac{3}{x}-6-2a$在$(2,4)$内存在极小值，则实数$a$的取值范围为 ___.

1. 求出函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$

已知函数 $f(x)=\ln x+(a-1)x+\dfrac{3}{x}-6-2a$，对其求导得：
$f'(x) = \dfrac{1}{x} + (a-1) - \dfrac{3}{x^2}$

2. 分析导函数 $f'(x)$ 在区间 $(2,4)$ 上的单调性

对 $f'(x)$ 再次求导，得：
$f''(x) = -\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{6}{x^3} = \dfrac{6-x}{x^3}$
当 $x \in (2,4)$ 时，$6-x > 0$，$x^3 > 0$，所以 $f''(x) > 0$ 恒成立。
因此，导函数 $f'(x)$ 在区间 $(2,4)$ 上单调递增。

3. 将“存在极小值”转化为端点导数值的不等式组

因为 $f'(x)$ 在区间 $(2,4)$ 上单调递增，要使 $f(x)$ 在 $(2,4)$ 内存在极小值，则导函数 $f'(x)$ 在 $(2,4)$ 内必须存在零点，且在零点左侧为负、右侧为正。
因此只需满足端点值异号：
$\begin{cases} f'(2) < 0 \\ f'(4) > 0 \end{cases}$
代入得：
$\begin{cases} \dfrac{1}{2} + a - 1 - \dfrac{3}{4} < 0 \\ \dfrac{1}{4} + a - 1 - \dfrac{3}{16} > 0 \end{cases}$

4. 解不等式组求出 $a$ 的取值范围

整理不等式组得：
$\begin{cases} a < \dfrac{5}{4} \\ a > \dfrac{15}{16} \end{cases}$
解得：$\dfrac{15}{16} < a < \dfrac{5}{4}$。
所以实数 $a$ 的取值范围为 $(\dfrac{15}{16},\dfrac{5}{4})$。