对数据：$1$、$1$、$1$、$2$、$2$、$3$、$4$，下列判断正确的是$(\quad)$

A. 中位数和众数相等

B. 中位数和平均数相等

C. 众数和平均数相等

D. 中位数、众数和平均数都不相等

1. 求出这组数据的众数

在这组数据 $1, 1, 1, 2, 2, 3, 4$ 中，$1$ 出现了 $3$ 次，出现的次数最多，
所以这组数据的众数为 $1$。

2. 求出这组数据的中位数

这组数据一共有 $7$ 个数，且已经按从小到大的顺序排列，
处于中间位置的数（即第 $4$ 个数）为 $2$，
所以这组数据的中位数为 $2$。

3. 求出这组数据的平均数

这组数据的平均数为：
$\bar{x} = \frac{1 \times 3 + 2 \times 2 + 3 + 4}{7} = \frac{14}{7} = 2$

4. 比较众数、中位数和平均数，并做出判断

比较计算结果：
众数为 $1$，中位数为 $2$，平均数为 $2$。
因此，中位数和平均数相等。
所以选项 B 正确。