如图，$\Delta ABC$ 中，$AE = \frac{1}{4}AB$，$AD = \frac{1}{4}AC$，$ED$ 与 $BC$ 平行，$\Delta EOD$ 的面积是 $15$ 平方厘米. 那么 $\Delta AED$ 的面积是 ___ 平方厘米.

1. 求出 $\Delta EDC$ 的面积

因为 $ED \parallel BC$，且 $AE = \frac{1}{4}AB$，$AD = \frac{1}{4}AC$，所以 $ED : BC = 1 : 4$。
在梯形 $EDCB$ 中，对角线交于点 $O$，由相似三角形性质可得 $\Delta EOD \sim \Delta COB$，相似比为 $ED : BC = 1 : 4$。
因此 $EO : OC = 1 : 4$。
在 $\Delta EDC$ 中，$O$ 分线段 $EC$ 为 $1 : 4$，故 $\Delta EOD$ 与 $\Delta DOC$ 在边 $EC$ 上的高相同，面积之比等于底边之比：
$\text{Area}(\Delta DOC) = 4 \times \text{Area}(\Delta EOD) = 4 \times 15 = 60\text{ cm}^2$
从而：
$\text{Area}(\Delta EDC) = \text{Area}(\Delta EOD) + \text{Area}(\Delta DOC) = 15 + 60 = 75\text{ cm}^2$

2. 求出 $\Delta AED$ 的面积

因为 $AD = \frac{1}{4}AC$，所以 $DC = \frac{3}{4}AC$，即 $AD : DC = 1 : 3$。
$\Delta AED$ 与 $\Delta EDC$ 的顶点均为 $E$，且底边 $AD$ 与 $DC$ 在同一条直线 $AC$ 上，故两三角形同高。
因此两三角形面积之比等于底边之比：
$\text{Area}(\Delta AED) = \frac{1}{3} \times \text{Area}(\Delta EDC) = \frac{1}{3} \times 75 = 25\text{ cm}^2$