一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44，仍是一个完全平方数，则这个自然数是 ．

1. 设未知数并列出关于完全平方数的代数方程

设这个自然数为 $x$。
根据题意，可设：
$x - 45 = m^2$ ①
$x + 44 = n^2$ ②
其中 $m, n$ 为非负整数，且 $n > m$。

2. 利用消元法得到两个完全平方数的差值

由②式减去①式得：
$n^2 - m^2 = (x + 44) - (x - 45) = 89$。

3. 利用平方差公式和质数性质求解 $m$ 和 $n$

对 $n^2 - m^2 = 89$ 利用平方差公式进行因式分解：
$(n - m)(n + m) = 89$
因为 $m, n$ 是非负整数，所以 $n - m$ 和 $n + m$ 也是整数，且 $n + m \ge n - m > 0$。
又因为 89 是质数，其正因数只有 1 和 89，因此可得方程组：
$\begin{cases} n - m = 1 \\ n + m = 89 \end{cases}$
两式相加得 $2n = 90 \implies n = 45$；
两式相减得 $2m = 88 \implies m = 44$。

4. 代入求出原自然数 $x$ 的值

将 $m = 44$ 代入①式得：
$x = 44^2 + 45 = 1936 + 45 = 1981$。
验证：若代入②式，则 $x = 45^2 - 44 = 2025 - 44 = 1981$。符合题意。
所以这个自然数是 1981。