20222022年北京冬奥会即将开幕,某校44名学生报名担任志愿者.将这44名志愿者分配到33个比赛场馆,每个比赛场馆至少分配一名志愿者,则所有分配方案共有 ___种.((用数字作答))

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完整解法

1. 对4名志愿者进行分组,确定分组方案数

根据题意,将 44 名志愿者分配到 33 个比赛场馆,每个比赛场馆至少分配一名志愿者,则分配的人数结构只能为 2,1,12, 1, 1。
先将 44 人分为三组,人数分别为 2,1,12, 1, 1。
分组方法数为:
N1=C42⋅C21⋅C11A22=6×2×12=6N_1 = \frac{\text{C}_4^2 \cdot \text{C}_2^1 \cdot \text{C}_1^1}{\text{A}_2^2} = \frac{6 \times 2 \times 1}{2} = 6 种.

2. 将分好的组分配到3个比赛场馆

再将分好的 33 组分配到 33 个不同的比赛场馆,这是一个全排列问题。
分配方法数为:
N2=A33=3×2×1=6N_2 = \text{A}_3^3 = 3 \times 2 \times 1 = 6 种.

3. 计算总分配方案数

由分步计数原理(乘法原理)可知,总的分配方案共有:
N=N1×N2=6×6=36N = N_1 \times N_2 = 6 \times 6 = 36 种.

答案

36

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