若sin⁡α=32\sin α= \dfrac { \sqrt {3}}{2},α∈(0,2π)α∈(0,2π),则α=α= ___ .

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完整解法

1. 在第一象限内求出满足方程的特殊角

由 sin⁡α=32\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2},结合特殊角的三角函数值,当 α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) 时,有:
α=π3\alpha = \frac{\pi}{3}

2. 结合三角函数的诱导公式与定义域求出所有符合要求的角

由于 sin⁡α=32>0\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 且 α∈(0,2π)\alpha \in (0, 2\pi),因此 α\alpha 的终边可以落在第一象限或第二象限。
由诱导公式 sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta,可得在第二象限的解为:
α=π−π3=2π3\alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}
综上所述,α=π3\alpha = \frac{\pi}{3} 或 2π3\frac{2\pi}{3}。

答案

π3\frac{\pi}{3} 或 2π3\frac{2\pi}{3}

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