一个学习小组的四名同学观察并测量了一个长方体，得到了五条信息： 信息$1$：如果高再增加$3$厘米，它恰好是一个正方体。 信息$2$：长方体的侧面积是$280$平方厘米。 信息$3$：长方体的表面积是$480$平方厘米。 信息$4$：长方体的棱长总和是$108$厘米。 信息$5$：长方体的底面周长是$40$厘米。 这五条信息都是正确的，请从中选择需要的信息，求出这个长方体的体积。

1. 选择信息，并求出长方体的长和宽

选择信息1和信息5。
根据信息1“如果高再增加 $3$ 厘米，它恰好是一个正方体”，可知该长方体的底面是一个正方形，即长和宽相等。
根据信息5“长方体的底面周长是 $40$ 厘米”，由正方形周长公式可求得长和宽：
底面边长（长和宽）为：$40 \div 4 = 10$（厘米）。

2. 求出长方体的高

根据信息1，高再增加 $3$ 厘米，它恰好是一个棱长为 $10$ 厘米的正方体。
因此，长方体的高为：$10 - 3 = 7$（厘米）。

3. 计算长方体的体积

根据长方体的体积公式 $V = a b h$，代入求得的底面长、宽和高：
长方体的体积为：$V = 10 \times 10 \times 7 = 700$（立方厘米）。