已知圆$C_{1}$：$x^{2}+y^{2}-2x+4y+4=0$，圆$C_{2}$：$x^{2}+y^{2}+x-y-m^{2}=0(m\geqslant 0)$，若圆$C_{2}$平分圆$C_{1}$的圆周，则正数$m$的值为 ___ .

1. 求圆 $C_1$ 的圆心坐标

将圆 $C_1$ 的方程 $x^2+y^2-2x+4y+4=0$ 配方，得：
$(x-1)^2+(y+2)^2=1$
因此，圆 $C_1$ 的圆心为 $O_1(1, -2)$，半径为 $1$。

2. 求两圆的公共弦方程

联立两圆的方程：
$\begin{cases} x^2+y^2-2x+4y+4=0 \\ x^2+y^2+x-y-m^2=0 \end{cases}$
两式相减消去二次项，得两圆的公共弦所在的直线方程为：
$-3x+5y+4+m^2=0$
即 $3x-5y-m^2-4=0$

3. 利用公共弦过圆心列出关于 $m$ 的方程并求解

由于圆 $C_2$ 平分圆 $C_1$ 的圆周，说明两圆的交点是圆 $C_1$ 的一条直径的两端点。
因此，两圆的公共弦必然经过圆 $C_1$ 的圆心 $O_1(1, -2)$。
将点 $(1, -2)$ 代入公共弦方程 $3x-5y-m^2-4=0$，得：
$3(1)-5(-2)-m^2-4=0$
解得 $m^2=9$
又因为 $m$ 是正数，所以 $m=3$。