小王和小明玩一个游戏，规则如下：把分别写有$1$、$2$、$3$、$4$的四张卡片全都放入一个暗盒中，每次摇匀后每人摸出一张.算出这两张上的数字之“和”；当“和”为奇数时，小王胜，当“和”为偶数时，小明胜，玩了一会，小王对小明说：“好象这个游戏不公平，但我说不明道理.” (1)这个游戏真的不公平吗？对谁有利？请你说明道理？ (2)若真的不公平，能否只改动一张卡片上的数字，使该游戏公平？请把你的改动方案表达在下面，供同学们分享．

1. 列出摸出两张卡片的所有等可能结果并计算卡片数字之和

从分别写有 $1$、$2$、$3$、$4$ 的四张卡片中随机摸出两张，共有以下 $6$ 种等可能的结果：
$(1, 2),\ (1, 3),\ (1, 4),\ (2, 3),\ (2, 4),\ (3, 4)$
计算各组合的两数之和：

• $1+2=3$（奇数）
• $1+3=4$（偶数）
• $1+4=5$（奇数）
• $2+3=5$（奇数）
• $2+4=6$（偶数）
• $3+4=7$（奇数）

2. 计算两人获胜的概率并说明理由

在全部 $6$ 种等可能结果中：

• “和为奇数”（小王胜）的组合有 $4$ 种：$(1,2), (1,4), (2,3), (3,4)$，故小王胜的概率为 $P(\text{小王胜}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$；
• “和为偶数”（小明胜）的组合有 $2$ 种：$(1,3), (2,4)$，故小明胜的概率为 $P(\text{小明胜}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$。

因为 $\dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{3}$，小王获胜的概率大于小明获胜的概率，所以这个游戏真的不公平，对小王有利。

1. 分析游戏公平的条件并给出改动方案

能只改动一张卡片上的数字使游戏公平。

理由与分析：
要使游戏公平，需使摸出两张卡片“和为奇数”与“和为偶数”的结果数相等，即各占 $3$ 种。
设 $4$ 张卡片中有 $O$ 张奇数、$E$ 张偶数（$O+E=4$）。两数之和为奇数的情况只能是“$1$个奇数 $+$ $1$个偶数”，其组合数为 $O \times E$。
要使 $O \times E = 3$，由于 $O+E=4$，解得 $O=1, E=3$ 或 $O=3, E=1$。
即只需把卡片调整为“$1$个奇数与$3$个偶数”或“$3$个奇数与$1$个偶数”。

改动方案（写出一种即可）：
将卡片“$2$”改为奇数“$5$”（此时 $4$ 张卡片为 $1, 3, 4, 5$）。
验证：

• 和为奇数的组合：$(1,4), (3,4), (5,4)$，共 $3$ 种，概率为 $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$；
• 和为偶数的组合：$(1,3), (1,5), (3,5)$，共 $3$ 种，概率为 $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$。
  两人胜率相等，游戏公平。