便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润$y($元$)$与每件销售价$x($元$)$之间的关系满足$y=-2(x-20)^{2}+1558$，由于某种原因，价格只能$15\leqslant x\leqslant 22$，那么一周可获得最大利润是$(\quad)$

A. $20$

B. $1508$

C. $1550$

D. $1558$

1. 分析二次函数表达式的开口方向和顶点坐标

已知利润 $y$ 与售价 $x$ 的关系式为 $y = -2(x - 20)^2 + 1558$。
这是一个关于 $x$ 的二次函数顶点式，开口方向向下（因为二次项系数为 $-2 < 0$），对称轴为直线 $x = 20$，顶点坐标为 $(20, 1558)$。

2. 结合自变量取值范围确定最值取得的条件

由于价格限制在 $15 \leqslant x \leqslant 22$ 之间，而对称轴 $x = 20$ 恰好在该区间内 $[15, 22]$，因此当 $x = 20$ 时，函数取得最大值。

3. 计算并得出最大利润

当 $x = 20$ 时，最大利润 $y_{\text{最大}} = 1558$ 元。
因此，一周可获得的最大利润是 $1558$ 元。选 D。