下列说法正确的是$(\quad)$

A. $-2ab^{3}$的次数是$4$

B. $2x^{2}+3x-1$是三次三项式

C. $\dfrac{xy}{3}$的系数为$1$

D. $x+1$是单项式

1. 分析A选项中单项式的次数是否正确

对于选项A，$-2ab^{3}$ 是单项式，其中的字母是 $a$ 和 $b$，它们的指数分别为 $1$ 和 $3$。单项式的次数是所有字母指数的和，即 $1 + 3 = 4$。因此，$-2ab^{3}$ 的次数是 $4$，此说法正确。

2. 分析B选项中多项式的次数是否正确

对于选项B，$2x^{2}+3x-1$ 是多项式，最高次项是 $2x^{2}$，次数为 $2$，一共有三项，因此它是二次三项式，而不是三次三项式，此说法错误。

3. 分析C选项中单项式的系数是否正确

对于选项C，$\dfrac{xy}{3}$ 可以写成 $\dfrac{1}{3}xy$，因此其系数为 $\dfrac{1}{3}$，而不是 $1$，此说法错误。

4. 分析D选项中代数式的类别是否正确

对于选项D，$x+1$ 是由单项式 $x$ 和 $1$ 相加得到的，属于多项式，而不是单项式，此说法错误。