下列各式中，是二次三项式的是$()$

A. $3+a+ab$

B. $3^{2}+3x+1$

C. $a^{3}+a^{2}-3$

D. $x^{2}+y^{2}+x-y$

1. 明确二次三项式的概念

根据多项式的定义，二次三项式是指多项式中最高次项的次数为 $2$，且多项式中含有 $3$ 项（即由 $3$ 个单项式相加而成）。

2. 逐一分析各选项以确定正确答案

分析如下：

• A. $3+a+ab$ 的项为 $3$, $a$, $ab$，其中最高次项 $ab$ 的次数是 $2$，共有 $3$ 项，因此是二次三项式，符合题意；
• B. $3^{2}+3x+1$ 化简后为 $3x+10$，最高次项次数为 $1$，是一次二项式，不符合题意；
• C. $a^{3}+a^{2}-3$ 的最高次项 $a^{3}$ 次数是 $3$，是三次三项式，不符合题意；
• D. $x^{2}+y^{2}+x-y$ 的最高次项次数是 $2$，但共有 $4$ 项，是二次四项式，不符合题意。

因此，正确的选项是 A。