已知圆$C$：$x^{2}+y^{2}+2x-4y=0$，则圆$C$的圆心坐标为$()$

A. $(1,-2)$

B. $(-1,2)$

C. $(1,2)$

D. $(-1,-2)$

1. 将圆的一般方程通过配方法转化为标准方程

已知圆 $C$ 的一般方程为：
$x^{2}+y^{2}+2x-4y=0$
对其进行配方：
$(x^{2}+2x+1) + (y^{2}-4y+4) = 1+4$
整理可得圆的标准方程为：
$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=5$

2. 根据标准方程直接读取圆心坐标

对照圆的标准方程 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，其圆心坐标为 $(a, b)$。
因此，圆 $C$的圆心坐标为 $(-1, 2)$。
故选 B。