关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$的两根为$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$，那么下列结论一定成立的是$()$

A. $b^{2}-4ac > 0$

B. $b^{2}-4ac=0$

C. $b^{2}-4ac < 0$

D. $b^{2}-4ac\leqslant 0$

1. 确定方程根的个数和性质

因为关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$ 的两根为 $x_{1}=1$，$x_{2}=-1$，且 $x_{1} \neq x_{2}$，所以该方程有两个不相等的实数根。

2. 根据根的个数确定判别式的符号并选出正确答案

由一元二次方程根的判别式性质可知，当方程有两个不相等的实数根时，判别式 $\Delta = b^{2}-4ac > 0$。
因此，结论一定成立的是 $b^{2}-4ac > 0$。
故选：A。