已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，且$a_{n+1}=\dfrac{2{{a}_{n}}}{3{{a}_{n}}+2}(n\in N^{*}).(1)$证明：数列$\left\{\dfrac{2}{{{a}_{n}}}\right\}$是等差数列，并求数列$\{a_{n}\}$的通项公式； (2)设$b_{n}=a_{n}a_{n+1}(n\in N^{*})$，数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和记为$T_{n}$，证明：$T_{n}< \dfrac{2}{3}.$

1. 证明数列 $\{\frac{2}{a_n}\}$ 是等差数列

由已知 $a_{n+1}=\dfrac{2a_{n}}{3a_{n}+2}$，两边取倒数得：
$\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{3a_{n}+2}{2a_{n}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{a_{n}}$
等式两边同乘以 $2$ 整理得：
$\dfrac{2}{a_{n+1}} - \dfrac{2}{a_{n}} = 3$
因为对任意 $n \in \mathbb{N}^*$，$\dfrac{2}{a_{n+1}} - \dfrac{2}{a_{n}}$ 均为常数 $3$，且当 $n=1$ 时，$\dfrac{2}{a_1} = \dfrac{2}{1} = 2$，
所以数列 $\left\{\dfrac{2}{a_{n}}\right\}$ 是首项为 $2$，公差为 $3$ 的等差数列。

2. 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

由等差数列通项公式得：
$\dfrac{2}{a_n} = \dfrac{2}{a_1} + (n-1)d = 2 + 3(n-1) = 3n - 1$
解得：
$a_n = \dfrac{2}{3n-1} \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

1. 求出 $b_n$ 的表达式并进行裂项拆分

由 (1) 知 $a_n = \dfrac{2}{3n-1}$，则 $a_{n+1} = \dfrac{2}{3(n+1)-1} = \dfrac{2}{3n+2}$。
故 $b_n = a_n a_{n+1} = \dfrac{2}{3n-1} \cdot \dfrac{2}{3n+2} = \dfrac{4}{(3n-1)(3n+2)}$。
利用裂项相消法可化为：
$b_n = \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{1}{3n-1} - \dfrac{1}{3n+2} \right)$

2. 求前 $n$ 项和 $T_n$ 并证明不等式 $T_n < \frac{2}{3}$

数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ 为：
$T_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$
$= \dfrac{4}{3} \left[ \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5}\right) + \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{8}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{3n-1} - \dfrac{1}{3n+2}\right) \right]$
$= \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3n+2} \right) = \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3(3n+2)}$
因为 $n \in \mathbb{N}^*$，所以 $3n+2 > 0$，则 $\dfrac{4}{3(3n+2)} > 0$。
因此 $T_n = \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3(3n+2)} < \dfrac{2}{3}$，得证。