设随机变量$X$服从正态分布$N(4,σ^{2})$，若$P(X< a-3)=P(X>a+1)$，则$a$的值为$(\quad)$

A. $3$

B. $4$

C. $5$

D. $6$

1. 由正态分布的参数确定对称轴

因为随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(4, \sigma^2)$，所以其概率密度曲线关于直线 $x = 4$ 对称，即均值 $\mu = 4$。

2. 利用对称性列出关于待求参数的方程

由正态分布曲线的对称性，若 $P(X < a-3) = P(X > a+1)$，则区间端点 $a-3$ 与 $a+1$ 关于对称轴 $x = 4$ 对称。
由此可得：
$\frac{(a-3) + (a+1)}{2} = 4$

3. 求解一元一次方程得到参数值

化简方程：
$(a-3) + (a+1) = 8$
$2a - 2 = 8$
$2a = 10$
解得：
$a = 5$

因此，正确答案为 C。