若圆$x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$上有且仅有$4$个点到直线$l$：$x-y-2=0$的距离为$1$，则实数$r$的取值范围是$(\quad)$

A. $(\sqrt{2}+1,+∞)$

B. $(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

C. $(0,\sqrt{2}-1)\:\:$

D. $(0,\sqrt{2}+1)$

1. 求圆心到直线的距离

由圆的方程 $x^2+y^2=r^2$ 可知，圆心为 $O(0,0)$，半径为 $r > 0$。
圆心 $O(0,0)$ 到直线 $l: x-y-2=0$ 的距离为：
$d = \frac{|0-0-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

2. 分析到直线距离为1的点的几何分布并确定半径范围

到直线 $l$ 距离为 $1$ 的点位于与 $l$ 平行的两直线上，圆心到这两条平行直线的距离分别为 $d-1$ 和 $d+1$。
若圆上有且仅有 $4$ 个点到直线 $l$ 的距离为 $1$，则该圆必须与这两条平行直线都相交（各有 2 个交点），
因此圆的半径 $r$ 必须大于圆心到较远平行直线的距离，即：
$r > d + 1 = \sqrt{2} + 1$
故实数 $r$ 的取值范围是 $(\sqrt{2}+1, +\infty)$。