设 $f(x) = 2x^2 - 10x + 6$，$x \leq k$。 a 求使 $f^{-1}(x)$ 存在的最大 $k$ 值。 b 对此 $k$ 值：i 求 $f^{-1}(x)$。ii 写出 $f^{-1}(x)$ 的定义域和值域。

1. 对二次函数配方求对称轴

将二次函数 $f(x) = 2x^2 - 10x + 6$ 进行配方：
$f(x) = 2\left(x^2 - 5x\right) + 6 = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - 2 \times \frac{25}{4} + 6 = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{13}{2}$
因此，抛物线的对称轴为直线 $x = \dfrac{5}{2}$。

2. 根据反函数存在条件确定最大 $k$ 值

要使反函数 $f^{-1}(x)$ 存在，函数 $f(x)$ 在其定义域 $x \leq k$ 上必须是一一映射（即严格单调）。
由于抛物线开口向上，对称轴为 $x = \dfrac{5}{2}$，故 $f(x)$ 在区间 $\left(-\infty, \dfrac{5}{2}\right]$ 上单调递减。
因此，使 $f(x)$ 为单射函数的最大定义域右端点为 $k = \dfrac{5}{2}$。

1. 用 $y$ 表示 $x$

设 $y = 2\left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{13}{2}$，其中 $x \leq \dfrac{5}{2}$。
移项并变形得：
$y + \frac{13}{2} = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2$
$\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{2y + 13}{4}$

2. 根据 $x$ 的范围取根号并写出反函数

因为 $x \leq \dfrac{5}{2}$，即 $x - \dfrac{5}{2} \leq 0$，两边开平方取负根：
$x - \frac{5}{2} = -\sqrt{\frac{2y + 13}{4}} = -\frac{\sqrt{2y + 13}}{2}$
$x = \frac{5 - \sqrt{2y + 13}}{2}$
交换 $x$ 与 $y$，得反函数解析式：
$f^{-1}(x) = \frac{5 - \sqrt{2x + 13}}{2}$

1. 求原函数 $f(x)$ 的值域

对于 $f(x) = 2\left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{13}{2}$，当 $x \leq \dfrac{5}{2}$ 时，最小值为 $f\left(\dfrac{5}{2}\right) = -\dfrac{13}{2}$。
因此原函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[-\dfrac{13}{2}, +\infty\right)$，定义域为 $\left(-\infty, \dfrac{5}{2}\right]$。

2. 确定反函数的定义域和值域

根据原函数与反函数的互逆性质：

• 反函数 $f^{-1}(x)$ 的定义域等于原函数 $f(x)$ 的值域，即 $x \geq -\dfrac{13}{2}$；
• 反函数 $f^{-1}(x)$ 的值域等于原函数 $f(x)$ 的定义域，即 $f^{-1}(x) \leq \dfrac{5}{2}$。