已知某抛物线的顶点坐标为$(-2,1)$，且与$y$轴相交于点$(0,4)$，这个抛物线所表示的二次函数的表达式是 ___ ．

1. 根据顶点坐标设出二次函数的顶点式解析式

因为抛物线的顶点坐标为 $(-2,1)$，
所以可以设该二次函数的解析式为顶点式：
$y = a(x+2)^2 + 1 \quad (a \neq 0)$

2. 代入已知点坐标求出待定系数并写出解析式

把抛物线与 $y$ 轴的交点 $(0,4)$ 代入设出的解析式中，得：
$4 = a(0+2)^2 + 1$
整理得：
$4a + 1 = 4 \implies 4a = 3 \implies a = \frac{3}{4}$
因此，该抛物线所表示的二次函数表达式为：
$y = \frac{3}{4}(x+2)^2 + 1$