发现：当两个不同的正整数同为偶数或奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差． 验证：如，$\left ( { 3+1 } \right ) ^ { 2 } -\left ( { 3-1 } \right ) ^ { 2 } =12$能被4整除，请把3与1的积写成两个正整数的平方差； 探究：设“发现”中两个正整数分别为m，n，请论证“发现”中的结论正确．

1. 解决“验证”部分，将3与1的积写成两个正整数的平方差。

根据题意，需要把 $3$ 与 $1$ 的积写成两个正整数的平方差。
计算积为：$3 \times 1 = 3$。
观察可知，$3 = 4 - 1 = 2^2 - 1^2$。
由于 $2$ 和 $1$ 都是正整数，因此：
$3 \times 1 = 2^2 - 1^2$。

2. 进行“探究”部分的第一步，论证和与差的平方差能被4整除。

设“发现”中的两个正整数分别为 $m$ 和 $n$（其中 $m \neq n$）。
写出这两个数之和与这两个数之差的平方差：
$(m+n)^2 - (m-n)^2$
利用完全平方公式展开并化简：
$(m+n)^2 - (m-n)^2 = (m^2 + 2mn + n^2) - (m^2 - 2mn + n^2) = 4mn$。
因为 $m, n$ 是正整数，所以他们的乘积 $mn$ 也是正整数。
因此 $4mn$ 一定能被 $4$ 整除，即这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被 $4$ 整除。

3. 论证这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差。

由步骤2可知，$(m+n)^2 - (m-n)^2 = 4mn$，
两边同时除以 $4$ 得：
mn = \frac{(m+n)^2 - (m-n)^2}{4} = \left(\frac{m+n}{2} ight)^2 - \left(\frac{m-n}{2} ight)^2。
因为 $m$ 和 $n$ 是不同的正整数，且同为偶数或同为奇数（即奇偶性相同），
所以 $m+n$ 和 $m-n$ 都是偶数，
因此 $\frac{m+n}{2}$ 和 $\frac{m-n}{2}$ 都是整数。
因为 $m, n$ 是正整数，所以 $m+n > 0$，即 $\frac{m+n}{2}$ 是正整数。
又因为 $m \neq n$，所以 $m-n \neq 0$，从而其绝对值 $\left|\frac{m-n}{2}\right|$ 是正整数。
由于 \left(\frac{m-n}{2} ight)^2 = \left(\left|\frac{m-n}{2}\right|\right)^2，
所以 $mn$ 可以表示为两个正整数（即 $\frac{m+n}{2}$ 和 $\left|\frac{m-n}{2}\right|$）的平方差。
综上所述，“发现”中的结论是正确的。