若三点$(1,4)$，$(2,7)$，$(a,16)$在同一直线上，则$a$的值等于$(\quad)$

A. $5$

B. $6$

C. $-1$

D. $4$

1. 求出过点$(1,4)$和$(2,7)$的直线解析式

设直线解析式为 $y = kx + b$ ($k \neq 0$)。
将点 $(1,4)$ 和 $(2,7)$ 代入解析式，得：
$\begin{cases} k + b = 4 \\ 2k + b = 7 \end{cases}$
两式相减，得 $k = 3$。
将 $k = 3$ 代入第一式，得 $b = 1$。
所以直线的解析式为 $y = 3x + 1$。

2. 代入第三点求出未知数 $a$ 的值

因为点 $(a, 16)$ 也在该直线上，将坐标代入 $y = 3x + 1$，得：
$16 = 3a + 1$
解得：
$3a = 15 \implies a = 5$
故选 A。