如图，抛物线 $y=x^2+bx+c$ 交 $x$ 轴于 $A$、$B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$. 直线 $y=x-3$ 经过点 $B$、$C$.

1. 求点B和点C的坐标

对于直线 $y = x - 3$：
令 $x = 0$，得 $y = -3$，故点 $C$ 的坐标为 $(0, -3)$；
令 $y = 0$，得 $x = 3$，故点 $B$ 的坐标为 $(3, 0)$.

2. 代入待定系数求抛物线解析式

将 $B(3, 0)$ 和 $C(0, -3)$ 代入抛物线 $y = x^2 + bx + c$，得：
$\begin{cases} c = -3 \\ 3^2 + 3b + c = 0 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} b = -2 \\ c = -3 \end{cases}$
因此，抛物线的解析式为 $y = x^2 - 2x - 3$.

1. 确定m的取值范围并用m表示线段PD的长

由题意，点 $P$ 是直线 $BC$ 下方的抛物线上的动点（不与 $B$、$C$ 重合），
故点 $P$ 的横坐标范围为 $0 < m < 3$.
点 $P$ 的坐标为 $(m, m^2 - 2m - 3)$，点 $D$ 在直线 $BC$ 上，其坐标为 $(m, m - 3)$.
因为 $PD \perp x$ 轴，所以：
$PD = (m - 3) - (m^2 - 2m - 3) = -m^2 + 3m = m(3 - m)$.

2. 表示出线段ED和DB的长度并求两三角形面积比

直线 $BC$ 的解析式为 $y = x - 3$，其与 $x$ 轴正方向的夹角为 $45^\circ$.
因为 $PD \perp x$ 轴，$PE \perp BC$ 于点 $E$，所以在 $\text{Rt}\triangle PDE$ 中，$\angle PDE = 45^\circ$，
故 $\triangle PDE$ 是等腰直角三角形，可得：
$ED = PD \cdot \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} m(3 - m)$.
由两点间距离公式，线段 $DB$ 的长为：
$DB = \sqrt{(3 - m)^2 + [0 - (m - 3)]^2} = \sqrt{2}(3 - m)$.
因为点 $E$、$D$、$B$ 均在直线 $BC$ 上，所以 $\triangle PDE$ 与 $\triangle PDB$ 具有公共高 $PE$，
其面积之比等于底边之比：
$\frac{S_{\triangle PDE}}{S_{\triangle PDB}} = \frac{ED}{DB} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} m(3 - m)}{\sqrt{2}(3 - m)} = \frac{m}{2}$.

3. 根据面积比4:5分类讨论求解m

线段 $PD$ 把 $\triangle PEB$ 分成两个三角形，面积比为 $4:5$，分两种情况：
① 当 $\frac{S_{\triangle PDE}}{S_{\triangle PDB}} = \frac{4}{5}$ 时：
$\frac{m}{2} = \frac{4}{5} \implies m = \frac{8}{5}$
经检验，$0 < \frac{8}{5} < 3$，符合题意；

② 当 $\frac{S_{\triangle PDE}}{S_{\triangle PDB}} = \frac{5}{4}$ 时：
$\frac{m}{2} = \frac{5}{4} \implies m = \frac{5}{2}$
经检验，$0 < \frac{5}{2} < 3$，符合题意.

综上所述，$m$ 的值为 $\frac{8}{5}$ 或 $\frac{5}{2}$.