从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下部分的棱长之和最少是 ．

1. 确定最大正方体的棱长

长方体的长、宽、高分别为 $8\text{ 厘米}$、$7\text{ 厘米}$、$6\text{ 厘米}$。
由于正方体的所有棱长相等，其最大棱长受限于长方体最短的边（即高度 $6\text{ 厘米}$）。
因此，截下的最大正方体棱长为 $6\text{ 厘米}$。

2. 分类讨论确定使剩下部分棱长之和最少的截法

要使剩下部分的棱长之和最少，截去正方体的位置应尽可能利用原长方体的原有边和顶点，减少新增的棱数：

1. 从一顶点（角）处截取：剩下部分成“L”形柱体。原底面周长在投影方向上保持不变，而竖向棱净增加 2 条。
2. 从一条棱（边）中间截取：剩下部分成“凹”形。底面周长会增加，竖向棱增加也更多。
3. 从面中间截取：剩下部分成“回”形。底面周长和竖向棱增加最多。
   因此，选择在长方体的一个角（顶点处）截取，能使剩下部分的棱长之和最少。

3. 计算在角上截取时剩下部分的最小棱长之和

原长方体的棱长之和为：
$L_{\text{原}} = (8 + 7 + 6) \times 4 = 84\text{ 厘米}$
当从一个角截去一个 $6 \times 6 \times 6\text{ 厘米}$ 的正方体时：

• 剩下部分的上、下两个底面周长与原长方体的上、下底面周长完全相等，周长之和为 $2 \times (8 + 7) \times 2 = 60\text{ 厘米}$。
• 竖向棱的数量发生变化：原有的 4 条竖直棱中，有 1 条（被切角处）消失，但在内部新产生了 3 条竖直棱。因此，竖直方向上的棱由 4 条变为了 $4 - 1 + 3 = 6$ 条（净增加 2 条）。
• 净增加的棱长之和为：
  $\Delta L = 2 \times 6 = 12\text{ 厘米}$
  所以剩下部分的棱长之和最少是：
  $L_{\text{最少}} = L_{\text{原}} + \Delta L = 84 + 12 = 96\text{ 厘米}$