将一个正方体的 8 个顶点和 12 条棱分别进行“切割”处理：第 1 步，在 8 个顶点处各切下一块，产生 8 个正三角形截面；第 2 步，在 12 条原始的棱处切下一块，产生 12 个矩形截面。处理完成后，原来的正方形面变成了正八边形面。那么，这个新生成的多面体共有 ___ 个顶点。

A. 16

B. 24

C. 36

D. 48

1. 确定新多面体的各面类型及总面数 F

根据题意，正方体经过切割处理后：

• 原正方体的 $6$ 个正方形面变成了 $6$ 个正八边形面；
• 切割 $8$ 个顶点处产生了 $8$ 个正三角形截面；
• 切割 $12$ 条棱处产生了 $12$ 个矩形截面。

因此，新多面体的总面数 $F$ 为：
$F = 6 + 8 + 12 = 26$

2. 通过各面的边数统计求出总棱数 E

统计所有面的边数总和：

• $6$ 个正八边形共有 $6 \times 8 = 48$ 条边；
• $12$ 个矩形共有 $12 \times 4 = 48$ 条边；
• $8$ 个正三角形共有 $8 \times 3 = 24$ 条边。

所有面的边数总和为：
$48 + 48 + 24 = 120$
因为多面体的每条棱恰好是两个面的公共边，所以总棱数 $E$ 为：
$E = \frac{120}{2} = 60$

3. 应用欧拉公式计算顶点数 V

由于该多面体是由正方体经平面切割得到的凸多面体，满足欧拉公式：
$V - E + F = 2$
将 $F = 26$ 和 $E = 60$ 代入公式，解得顶点数 $V$：
$V = E - F + 2 = 60 - 26 + 2 = 36$
故该新生成的多面体共有 $36$ 个顶点，选项 C 正确。