已知 $m$ 为 $\sqrt[\:]{\:\:27^{}}$ 的整数部分， $3m-6n$ 的立方根是 $3.(1)$ 求 $\sqrt[\:]{\:\:27^{}}$ 的小数部分； (2)求 $m-2n$ 的平方根.

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完整解法

1. 估算 $\sqrt{27}$ 的大小范围

因为 $25 < 27 < 36$ ，
所以 $5 < \sqrt{27} < 6$ .

2. 表示出 $\sqrt{27}$ 的小数部分

因为 $\sqrt{27}$ 的整数部分是 $5$ ，
所以其小数部分为 $\sqrt{27}-5$ （或 $3\sqrt{3}-5$ ）.

答案

$\sqrt{27}-5$ （或 $3\sqrt{3}-5$ ）

1. 根据定义求出 $m$ 的值，并列出关于 $n$ 的方程

由 (1) 知 $\sqrt{27}$ 的整数部分为 $5$ ，则 $m=5$ .
因为 $3m-6n$ 的立方根是 $3$ ，
所以 $\sqrt[3]{3m-6n}=3$ ，即 $3m-6n=3^3=27$ .

2. 代入 $m$ 求解 $n$ 的值

将 $m=5$ 代入方程，得：
$3 \times 5 - 6n = 27$
$15 - 6n = 27$
$-6n = 12$
解得 $n=-2$ .

3. 计算 $m-2n$ 的值并求其平方根

则 $m-2n = 5 - 2 \times (-2) = 5 + 4 = 9$ .
所以 $m-2n$ 的平方根为 $\pm\sqrt{9} = \pm 3$ .

答案

$\pm 3$

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