循环小数化分数：$1.\dot{2}1\dot{6} = \_\_\_ \frac{(\_\_\_)}{(\_\_\_)}$

1. 设未知数并构造等式消除循环节

设 $x = 1.\dot{2}1\dot{6} = 1.216216\dots$
由于循环节为 $216$，长度为 $3$ 位，将等式两边同时乘以 $1000$ 得：
$1000x = 1216.216216\dots = 1216.\dot{2}1\dot{6}$

2. 两式相减消去小数部分并解出分数

用第二式减去第一式：
$1000x - x = 1216.\dot{2}1\dot{6} - 1.\dot{2}1\dot{6}$
$999x = 1215$
$x = \frac{1215}{999} = 1 \frac{216}{999}$

3. 对带分数的真分数部分进行约分，化为最简分数

观察分子 $216$ 与分母 $999$，两者的最大公因数为 $27$：
$\frac{216 \div 27}{999 \div 27} = \frac{8}{37}$
因此，$1.\dot{2}1\dot{6} = 1 \frac{8}{37}$。