在现实生活中,铺地最常见的是用正方形地板砖,某小区广场准备用多种地板砖组合铺设,则能够选择的组合是()(\quad)
A. 正六边形,正八边形
B. 正方形,正七边形
C. 正五边形,正六边形
D. 正三角形,正方形

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完整解法

1. 计算各选项中涉及的正多边形内角的度数

根据正多边形的内角和定理 (n−2)×180∘(n-2)\times 180^\circ 及其每个内角的计算公式 (n−2)×180∘n\frac{(n-2)\times 180^\circ}{n},分别计算出各正多边形的每个内角的度数:

  • 正三角形的内角为:(3−2)×180∘3=60∘\frac{(3-2)\times 180^\circ}{3} = 60^\circ
  • 正方形的内角为:(4−2)×180∘4=90∘\frac{(4-2)\times 180^\circ}{4} = 90^\circ
  • 正五边形的内角为:(5−2)×180∘5=108∘\frac{(5-2)\times 180^\circ}{5} = 108^\circ
  • 正六边形的内角为:(6−2)×180∘6=120∘\frac{(6-2)\times 180^\circ}{6} = 120^\circ
  • 正七边形的内角为:(7−2)×180∘7=900∘7≈128.57∘\frac{(7-2)\times 180^\circ}{7} = \frac{900^\circ}{7} \approx 128.57^\circ
  • 正八边形的内角为:(8−2)×180∘8=135∘\frac{(8-2)\times 180^\circ}{8} = 135^\circ

2. 利用平面镶嵌条件逐一验证各选项

平面镶嵌的条件是:拼接在同一个顶点处的各个内角的和必须等于 360∘360^\circ。
设在一个顶点处,第一种正多边形有 xx 个,第二种正多边形有 yy 个(x,yx, y 为正整数):

  • 对于 A 选项(正六边形,正八边形):120∘x+135∘y=360∘120^\circ x + 135^\circ y = 360^\circ,化简得 8x+9y=248x + 9y = 24。该方程没有正整数解,无法进行平面镶嵌;
  • 对于 B 选项(正方形,正七边形):90∘x+900∘7y=360∘90^\circ x + \frac{900^\circ}{7} y = 360^\circ,化简得 7x+10y=287x + 10y = 28。该方程没有正整数解,无法进行平面镶嵌;
  • 对于 C 选项(正五边形,正六边形):108∘x+120∘y=360∘108^\circ x + 120^\circ y = 360^\circ,化简得 9x+10y=309x + 10y = 30。该方程没有正整数解,无法进行平面镶嵌;
  • 对于 D 选项(正三角形,正方形):60∘x+90∘y=360∘60^\circ x + 90^\circ y = 360^\circ,化简得 2x+3y=122x + 3y = 12。当 y=2y = 2 时,x=3x = 3,存在正整数解,即 3 个正三角形和 2 个正方形可以拼接在一个顶点处进行平面镶嵌。

因此,能够选择的组合是正三角形和正方形。

故选:D。

答案

D

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