一次函数$y=mx+|m-1|$的图象过点$(0,2)$，且$y$随$x$的增大而增大，则$m=()$

A. $-1$

B. $3$

C. $1$

D. $-1$或$3$

1. 将点代入一次函数解析式，得到关于参数的方程

将点 $(0,2)$ 的坐标代入一次函数 $y=mx+|m-1|$，得：
$2 = m \cdot 0 + |m-1|$
即：
$|m-1| = 2$

2. 解含绝对值的方程，求出 $m$ 的候选值

由 $|m-1| = 2$ 可得：
$m-1 = 2 \quad \text{或} \quad m-1 = -2$
解得：
$m = 3 \quad \text{或} \quad m = -1$

3. 根据一次函数的增减性对 $m$ 进行取舍，确定最终结果

因为 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，
所以一次函数 $y=mx+|m-1|$ 的斜率必须大于零，即：
$m > 0$
在 $m = 3$ 和 $m = -1$ 中，只有 $m = 3$ 满足 $m > 0$。
因此，$m = 3$。
所以正确选项为 B。