有 12 个完全相同的信封，其中 11 个装的均为 1 枚等重的硬币，剩下的 1 个装的是一枚较重的硬币。现需要找到那枚较重的硬币，若有一台没有砝码的天平，每次称量需要支付 1 元。此外，也可花费 2 元购买一次提示：排除 4 个错误信封，但最多只可购买 1 次提示。为保证找到那枚较重的硬币，最低花费是 ___ 元。

1. 分析不购买提示时的称量次数与花费

天平每次称量有三种可能结果（左重、右重、平衡），因此称量 $k$ 次最多能从 $3^k$ 枚硬币中保证找出唯一的较重硬币。
因为 $3^2 = 9 < 12 < 3^3 = 27$，所以若仅使用天平，保证找到较重硬币至少需要 $3$ 次称量。
每次称量花费 $1$ 元，纯称量策略的最坏花费为 $3 \times 1 = 3$ 元。
具体称量方法：第一次左右各放 $4$ 个，剩下 $4$ 个；若不平衡，重币在较重一侧的 $4$ 个中；若平衡，重币在未称的 $4$ 个中。第二次从锁定的 $4$ 个中左右各放 $1$ 个，剩下 $2$ 个；同理可缩小至最多 $2$ 个。第三次左右各放 $1$ 个即可确定。因此 $3$ 次称量必能找到。

2. 分析购买提示或花费更低时的可行性

考虑能否用少于 $3$ 元的花费保证找到：

1. 若总花费为 $1$ 元：只能称量 $1$ 次，最多区分 $3$ 个信封，无法从 $12$ 个中确定。
2. 若总花费为 $2$ 元：
   • 方式一（称量 $2$ 次）：最多区分 $3^2 = 9$ 个信封，$9 < 12$，无法保证找到；
   • 方式二（购买 $1$ 次提示）：花费 $2$ 元，排除 $4$ 个信封后还剩 $12 - 4 = 8$ 个信封，但已无资金继续称量，无法确定。
3. 若购买 $1$ 次提示并继续称量：买提示需 $2$ 元，剩下 $8$ 个信封至少还需要称量 $\lceil \log_3 8 \rceil = 2$ 次（花费 $2$ 元），总花费为 $2 + 2 = 4$ 元，高于 $3$ 元。

综上，为保证找到那枚较重的硬币，最低花费是 $3$ 元。