定义 $a * b = (a - 1) * (b - 1)$，$1 * 2 = 5$，则 $1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + \dots + 2023 * 2024 =$ ___

1. 分析新运算的递推性质，确定各项的值

由新运算的定义 $a * b = (a - 1) * (b - 1)$ 可知，两个数同时减 $1$ 时，运算结果不变。
因此对于任意正整数 $n$：
$n * (n + 1) = (n - 1) * n = (n - 2) * (n - 1) = \dots = 1 * 2$
已知 $1 * 2 = 5$，所以算式中的每一项均有：
$n * (n + 1) = 5$

2. 确定求和式中的项数并计算总和

算式 $1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + \dots + 2023 * 2024$ 中，各项的形式为 $n * (n + 1)$，其中 $n$ 从 $1$ 取到 $2023$，共有 $2023$ 项。
因为每一项的值都等于 $5$，所以总和为：
$2023 \times 5 = 10115$