定义：若一个整数能表示成$a^{2}+b^{2}(a,b$是正整数$)$的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为$13=3^{2}+2^{2}$，所以$13$是“完美数”； 再如：因为$a^{2}+2ab+2b^{2}=(a+b)^{2}+b^{2}$，所以$a^{2}+2ab+2b^{2}$也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于$10$的“完美数”，这个“完美数”是 ； (2)判断$53$$($请填写“是”或“否”$)$为“完美数”； (3)已知$M=x^{2}+4x+k(x$是整数，$k$是常数$)$，要使$M$为“完美数”，试求出符合条件的一个$k$值，并说明理由； (4)如果数$m$，$n$都是“完美数”，试说明$mn$也是“完美数”．

1. 根据完美数的定义寻找小于10的例子

取正整数 $a=1, b=2$，则 $a^2+b^2 = 1^2+2^2 = 1+4 = 5$。
因为 $5 < 10$，所以 $5$ 是一个小于 $10$ 的“完美数”。（同理，$1^2+1^2=2$ 或 $2^2+2^2=8$ 亦可）

1. 将53拆分为两个正整数的平方和并判断

因为 $53 = 49 + 4 = 7^2 + 2^2$，其中 $7$ 和 $2$ 都是正整数，符合 $a^2+b^2$（$a,b$ 为正整数）的形式，所以 $53$ 是“完美数”。

1. 对代数式 $M$ 进行配方变形

$M = x^2+4x+k = (x^2+4x+4) + k - 4 = (x+2)^2 + (k-4)$

2. 确定常数 $k$ 的值并说明理由

要使 $M$ 为“完美数”，只需使 $k-4$ 为某个正整数的平方。
令 $k-4 = 1^2 = 1$，解得 $k = 5$。
此时 $M = (x+2)^2 + 1^2$，符合两个整数平方和的形式，故 $k=5$ 符合条件。