估计$\sqrt {13} +1$的值在$(\:\:\:\:)$

A. $1$和$2$之间

B. $2$和$3$之间

C. $3$和$4$之间

D. $4$和$5$之间

1. 估算 $\sqrt{13}$ 的范围

因为 $9 < 13 < 16$，且 $3^2 = 9$，$4^2 = 16$，
所以 $3 < \sqrt{13} < 4$。

2. 估算 $\sqrt{13} + 1$ 的范围并得出结论

在不等式 $3 < \sqrt{13} < 4$ 的各边同时加上 $1$，
得 $4 < \sqrt{13} + 1 < 5$。
因此，$\sqrt{13} + 1$ 的值在 $4$ 和 $5$ 之间。
故选：D。