次の定積分の上を求めよ。
$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^3 x}{1 - \sin x} dx$
[25 横浜市立大(改)]

1. 利用三角恒等式与因式分解化简被积函数

利用同角三角函数基本关系 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 以及平方差公式对被积函数进行化简：

$$\begin{aligned} \frac{\cos^3 x}{1 - \sin x} &= \frac{\cos x \cdot \cos^2 x}{1 - \sin x} \\ &= \frac{\cos x (1 - \sin^2 x)}{1 - \sin x} \\ &= \frac{\cos x (1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 - \sin x} \\ &= \cos x (1 + \sin x) \\ &= \cos x + \sin x \cos x \end{aligned}$$

2. 求原函数并代入积分上下限计算定积分的值

被积函数的原函数为：
$\int (\cos x + \sin x \cos x) \, dx = \sin x + \frac{1}{2}\sin^2 x + C$
代入积分上下限 $\frac{\pi}{6}$ 与 $\frac{\pi}{3}$ 计算：

$$\begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^3 x}{1 - \sin x} \, dx &= \left[ \sin x + \frac{1}{2}\sin^2 x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \left( \sin\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin^2\frac{\pi}{3} \right) - \left( \sin\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\sin^2\frac{\pi}{6} \right) \\ &= \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \right) \\ &= \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{8} \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{8} - \frac{5}{8} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{3} - 1}{4} \end{aligned}$$